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2010年12月19日 (日)

好きな素数は?

先日、飲み会の席で隣の人に「好きな素数はなんですか?」って質問してみました。
もちろん、普通「好きな素数」なんてないので、その質問自体がギャグになると思ってした質問です。
その後、逆に質問し返されたので「好きな素数ね、ベタで申し訳ないけど、1123ですね」とこたえました。
今度は「ベタ」と言いながら4桁という素数かどうかさえわかりにくい数字をこたえたことがギャグのつもりなんですが、別の人に「1123というのは何番目の素数なんですか?」と質問されました。
もちろん、こたえられませんでした。
自分の未熟さを思い知らされた瞬間です。
事前に調べておいて即答できるようにしておくべきでした。
その後調べて188番目だとわかったので、今度からは大丈夫です。

話はそれますが、このブログで私は「ゴールドバッハ」というユーザ名で記事を書いているんですが、これは「ゴールドバッハ予想」で有名な数学者のゴールドバッハからとらせていただきました。
このゴールドバッハ予想というのは

4以上の全ての偶数は2つの素数の和であらわせる

というものです。
たとえば、
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 または 5 + 5
といった具合です。

実はこの予想、未だに未解決です。
ここ数年、フェルマーの最終定理やポアンカレ予想など
有名な未解決問題が証明されましたが、
実は数学にはまだまだ、たくさんの未解決問題が存在します。
未解決問題に関してはまた別の機会に書ければと思うのですが、
ブログで数式を表記するのは面倒だし書かないかもしれません。

ちなみに私が好きな素数「1123」をこたえたあと、
好きな素数をたずねた人とは別の人に
「好きな完全数は?」
とたずねたところ、「28です」とこたえられました。
完敗です。

まだまだ修行を積まなければと、反省しましたが
とても有意義な飲み会でした。

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コメント

2より大きな偶数は、2個の素数の和で必ず表せると、ゴールドバッハは予測しました。例えば14は、3+11=7+7と2つの素数の足し算で表現することが出来ます。実際にコンピュータで5×10の17乗の偶数まで成り立つことが証明されています。この事実は、何を意味しているのでしょうか。
偶数は、等しい2つの数に分けることが出来ます。偶数(2Pとする)を2つに等分した(Pとする)一方から、ある数(A)を引き(引いた後をXとする)、他方にその数(A)を足し(足した後をYとする)、XとYが共に素数である様なAが必ず存在すれば、予測は証明されます。
Y=X+2Aと表されます。表を使ってイメージを伝えます。横線の左端を0、右端を2Pとし、中間点をPとします。元々、XとYはP上にあります。Pが素数であれば、XとYを動かさなくても済みます。偶数(2P)=P(素数)+P(素数)と表されます。そうでない場合は、XをAだけ0に近づけなければならず、その分YはAだけ2Pに近づきます。
0からPまでの間には、素数が2から順番に3・5・7・11・13・17・19・23・29(どこまでも続きますが、説明の便宜上10個までとします)と順番に並んでいます。Pから2Pまでには、0からP間にある10個の素数の倍数が並んでいます。そうして、0からP間にある素数の位置にXを置いた場合、Yが0からP間にある10個の素数の倍数位置に来なければ、Yは素数となります。(素数の倍数の位置にYが来ると、Yは素数ではなくなります)
Pが、0からP間にある10個の素数である、2から29までのいずれかの素数で割切れる場合は、その位置にXを動かしても無駄です。Yがその素数の倍数になるからです。(PはXの倍数となる。P=X+Aなので、AもXの倍数である。従ってY=X+2AもXの倍数となり、Yは素数ではありません)その場合と、A=X/2の場合以外は、YはXを置いた位置の素数(Rとする)の倍数にはなりません。
そうして、Xを0からP間にある全ての素数上に置いたとき、Yが全ての場合において、0からP間にある素数の倍数の位置に来た時のみ、Yは素数ではあり得なくなります。その時のみ、偶数(2P)を2つの素数(X・Y)で表現することは出来ないと言えます。
 偶数(2P)を2つの素数で表現出来ない確率は、偶数(2P)が小さい間は、大変低いと言えます。Xを置くことが出来る位置は、素数の位置のみです。素数10個の例で説明すると、Xを10箇所の位置に置いて見て、その10回全てにおいて、Yはその10個の素数の倍数位置いずれかに来なければなりません。1回でもそれらの倍数の位置に来なければ、XとYは素数となります。Xを置くことが出来る位置は10であるのに対して、Yが来られる位置は非常に沢山あります。しかも、10回中1回でも来る事が出来れば良いのです。
 従って、偶数(2P)が小さい内は、2つの素数で表せない確率は大変低いと言えます。しかし、偶数(2P)が大きくなるに従って、0からPまでに現れる素数が多くなって行き、Pから2P間においては、増えた素数の倍数がどんどん除かれて行き、素数は次第にまばらに成って行きます。そして、偶数(2P)が大きくなるに従って、XとYが共に素数となれる確率は、低下して行きます。偶数(2P)が極端に大きくなると、Pから2P間に素数が全く存在しなくなることもあり得ます。その場合、偶数(2P)は決して2つの素数では表せません。
コンピュータで確認出来た範囲は、まだ偶数が小さく2つの素数で表現出来る確率が高かった為そうなっただけです。ゴールドバッハの予測は、言い換えれば、偶数が2つの素数で表せる確率が高い時には、その偶数はその2つの素数で表せると、当たり前の事を言っているだけだったのです。

前回のコメントを次の通り訂正します。
2より大きな偶数は、2個の素数の和で必ず表せると、ゴールドバッハは予測しました。例えば14は、3+11=7+7と2つの素数の足し算で表現することが出来ます。
偶数は、等しい2つの数に分けることが出来ます。偶数(2Pとする)を2つに等分した(Pとする)一方から、ある数(A)を引き(引いた後をXとする)、他方にその数(A)を足し(足した後をYとする)、XとYが共に素数である様なAが必ず存在すれば、予測は証明されます。
Y=X+2Aと表されます。図を使ってイメージを伝えます。横線の左端を0、右端を2Pとし、中間点をPとします。元々、XとYはP上にあります。Pが素数であれば、XとYを動かさなくても済みます。その時、偶数(2P)=P(素数)+P(素数)と表されます。そうでない場合は、XをAだけ0に近づけなければならず、その分YはAだけ2Pに近づきます。
0からPまでの間には、素数が2から順番に3・5・7・11・13・17・19・23・29・・・Nと順番に並んでいます。2Pの位置からP方向に逆向きに2から順番に3・5・7・11・13・17・19・23・29・・R(0からP間に付した素数と区別する為Rとする)と番号を付けます。この2からRまでの位置が、Yの来る位置です。2からRの位置が、0から見て必ず1つは素数の位置であることを、証明すれば良いのです。
簡単にする為に、素数の波と的のイメージで説明します。0から発した2の波と横線が交わる2・4・6・8・・・の位置を、2の波が当たる位置と表します。2PからP間の2からRの位置を、的と表します。波が当たる位置に的があれば、その的を撃つことが出来ると表します。0から出発した2からNの素数の波で、2からRの的全てを、撃つことが出来るでしょうか。
Nの波では、2の的しか撃てません。NとRの間は、2Aで偶数です。N=Rなので、RをNの位置まで移動させると、Nの波は2Pから2AだけP方向に寄った位置に当たります。2Aは偶数なので、偶数の的にしか当たりません。素数の中で、偶数であるのは2のみです。従って、Nの波では、2の的しか撃てません。
また、2の波では2の的しか撃てません。2の波は、N(素数)には当たらず、NとRの間は2Aの偶数なので、Rにも当たりません。Rに当たらない2の波は、2の的に必ず当たり、それ以外の的には当たりません。
Rの的を2とNの波以外の波で、撃たなければなりません。仮に、Rに3の波が当たる様に設定します。すると、3の波は3の的には当たりません。2PからP方向に向けて発した3の波は、3の的を通りRの的には当たりません。ですから、3の波をRの的に当てるように動かすと、もう3の的には当たらなくなります。3の的に、仮に5の波が当たるように設定出来たとします。そうすると、5の波は5の的には当たりません。5の的に、また別の素数の波が当たる様設定出来たとすると、今度は、その番号の素数の的が撃てなくなります。そうして、次々と的を別の番号の波で撃つと、最後に的が1つ残ります。的は2の的以外ですが、波は2とNの波以外だからです。
従って、少なくとも1つの的は撃つことが出来ず、Yは必ず素数であることが可能です。このことより、2より大きな偶数は、2個の素数の和で必ず表せると言えます。

補足説明をします。1つの波で2つ以上の的を撃つように波を設定することや、7の波で11の的を、11の波で13の的を、13の波で7の的を撃つ様に、波を設定したとします。しかし、それでは全ての波が0を通過することはなくなります。1つの波が1つの的を撃つのなら、全ての波が全く偶然にも0を通過する可能性は残ります。
1つの波で1つの的を撃つ場合、全ての的を撃つことの出来る波の配置は、2Pの位置より2からNの波を発射した形以外にありません。それ以外では、1つの波が複数の的を撃つことになります。2の波は2の的を、3の波は3の的を、nの波はRの的を射抜きます。しかし、この配置でも全ての波が0を通過することはありません。全ての波が1点に集まる位置は、発射してから2×3×5×・・・×Nの位置で、0よりも遥かに先の方です。その位置から2からNの波を発射して始めて、2からR全ての的を撃つことが出来ます。
従って、全ての的を撃つことは出来ず、Yは必ず素数であることが可能です。このことより、2より大きな偶数は、2個の素数の和で必ず表せると言えます。

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